Топология

Эта статья прошла проверку экспертом
Материал из «Знание.Вики»
Наука
Топология
(от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение)
англ. Topology
Mathematics.png
Предмет изучения непрерывность
Период зарождения XIX век
Основные направления математика, геометрия

Топология (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности, выражающегося в понятии предела.

Основные этапы развития топологии

Конструкция индуцированной топологии с плоскости на квадрат (чёрный) подразумевает, что открытыми подмножествами квадрата объявляются его пересечения с открытыми подмножествами плоскости

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в XVIII—XIX веках, в том числе теорема Леонарда Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части. В начале XX века создаётся общее понятие пространства в Топологии: метрическое — Морис Фреше, топологическое — Феликс Хаусдорф, возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях Анри Лебега и Лёйтзена Брауэра, вводятся полиэдры Анри Пуанкаре и определяются их так называемые числа Бетти[1].

Первая четверть XX века завершается расцветом общей Топологии и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности Павла Урысона; аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид под руководством Павла Александрова; строится теория компактных пространств и доказывается теорема об их произведении Андреем Тихоновым; впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства; вводится понятие локально конечного покрытия, на основе которого в 1944 году Жан Дьёдонне определил паракомпактные пространства; вводятся вполне регулярные пространства; определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий. Под влиянием Эмми Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Лев Понтрягин, основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств[1].

Во второй четверти XX века продолжается развитие общей Топологии и теории гомологий: в развитие идей Тихонова Аллан Стоун и Эдуард Чех вводят так называемое стоун — чеховское расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств, в группы когомологий вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Топология иногда и до сих пор называется комбинаторной Топологией. Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий; определяются гомотопические группы и для их вычисления применяются соображения гладкой Топологии. Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий. Возникает теория расслоений; вводятся клеточные пространства Джона Уайтхеда[1].

Во второй половине XX века в Советском Союзе складывается советская школа общей Топологии и теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме метризации, теории компактных расширений, общей теории непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов; теории так называемых кардинальнозначных инвариантов Александра Архангельского и Бориса Пасынкова. Усилиями ряда учёных окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической топологии в США и Великобритании; возобновляется интерес к геометрической Топологии. Создаётся теория векторных расслоений и К-функтора, алгебраическая топология получает широкие применения в гладкой Топологией и алгебраической геометрии; развивается теория кобордизмов и теория сглаживания и триангулируемости[1]

Разделы топологии

Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Топологии на ряд отделов отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных:

Примечания

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Топология / Большая советская энциклопедия // Глав. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — Москва : Сов. энциклопедия, Т. 26: Тихоходки-Ульяново. — 1977. — 622 с.
  2. Введение в теорию множеств и общую топологию / П.С. Александров. — Москва : Наука, 1977. — 367 с
  3. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — Москва : Сов. энциклопедия, Т.4: Ока теоремы — Сложная функция, 1984. — 608 с
  4. Маломерная топология и комбинаторная теория групп / [Редкол.: С.В. Матвеев (отв. ред.) и др.]. — Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 1999. — 70 с. — ISBN 5-230-20047-2
  5. Вычислительная топология / Е. И. Яковлев; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. агентство по образованию, Нижегор. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского. — Н. Новгород : Изд-во Нижегор. гос. ун-та, 2005. — 213 с. — ISBN 5-85746-824-8
  6. Алгебраическая топология / Перевод с англ. Б. М. Пранова ; Под ред. А. М. Виноградова. — Москва : Мир, 1971. — 680 с
  7. Дифференциальная топология / Дж. Милнор, А. Уоллес ; Пер. с англ. А. А. Блохина, С. Ю. Аракелова ; Под ред. Д. В. Аносова. — Москва : Мир, 1972. — 277 с
  8. Дифференциальная топология // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

Литература

WLW Checked Off icon.svg Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!