Умножение

Эта статья прошла проверку экспертом
Материал из «Знание.Вики»
Умножение 5 яблок на 3, как и умножение 3 яблок на 5, даёт 15 яблок

Умножение — одна из основных математических операций над двумя аргументами, исторически определённое как многократное сложение. Аргументы называются сомножителями, каждый из них — множитель, иногда — множимое и множитель. Результат умножения назвается произведением.

Терминология и запись

Операция умножения сопоставляет два соможителя, и для выяснения третьего объекта , называемого произведением. Обозначается при записи умножение специальным знаком в нескольких вариациях. В 1631 году английский математик Уильям Отред ввёл в обращение знак умножения (×), не имеющий специального названия и именуемый просто «знак умножения». Основан этот знак был на Андреевском кресте. Полвека спустя, в 1698 году, немецкий математик Вильям Лейбниц использовал для записи умножения точку, приподнятую в центр строки (), чтобы не путать знак умножения с буквой . Оба этих знака используются и по сей день примерно равнозначно, при этом для записи умножения буквенных множителей знаки часто опускаются и два множителя просто пишутся слитно ; в случае если один из множителей число, а другой — буквенный, это также справедливо и записывается как [1][2][3][4][5].

Исторически для записи умножения также использовались обозначения: in (Франсуа Виет, XVI век), символ прямоугольника в начале произведения и запятая в конце (Пьер Эригон, 1634 год) и звёздочка (*) (Иоганн Ранн, 1659 год)[4]. Последняя с появлением компьютеров стала использоваться для записи умножения наряду со знаком ⊗, используемым для обозначения умножения с плавающей запятой[5].

Выполнение

Умножение натуральных чисел и выполняется как многократное сложение числа , взятого раз: . Умножение рациональных чисел, представляемых в виде дробей производится групповым перемножением делимых и делителей этих дробей с образованием дроби-множителя, к которой в случае если один множитель имел знак минус, а другой — нет, ставится знак минус. Иррациональные числа перемножаются путём перемножения их рациональных приближений. Комплексные числа перемножаются по формуле: , где  — мнимая единица, остальные числа вещественные[1].

Для умножения натуральных чисел также существует графическое представление в виде рядов предметов, где первый множитель является количеством предметов в каждом ряду, а второй — количеством рядов. Общее число предметов в данном случае будет произведением[2][3]. В учебных программах при изучении умножения используется таблица Пифагора, представляющая из себя таблицу из 9 столбцов и 9 колонок, представляющую перемножение всех однозначных целых чисел в любой комбинации. Таблица заучивается и в дальнейшем при умножении более сложных чисел они раскладываются на элементы таблицы Пифагора[3]. Аналогичные таблицы существуют для всех систем счисления помимо десятиричной, в учебных программах по информатике рассматриваются таблицы для двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления[6][7][8][9][10].

Умножение в микроэлектронике (калькуляторах, компьютерах) чаще всего выполняется через двоичную систему счисления и делается методом сдвига и сложения. Множители при этом разделяются на информационные и знаковые разряды, которые обрабатываются раздельно. Знаковый разряд, имеющий два возможных значения, из которых 0 обозначает положительное число, а 1 — отрицательное, суммируются с проверкой младшего разряда, где в итоге получается снова либо 0 либо 1). Умножение информационной части числа происходит последовательноым умножением множимого на ненулевые разряды множителя и последующим сложением произведений. По сути произведение двух чисел в электронике — это могократное сложение множимого, сдвинутого на все ненулевые разряды множителя. Гораздо реже умножение в компьютерах происходит без разделения на разряды, в таком случае при каждой операции умножения множимого на разряды множителя происходит операция корректировки, заменяющая сложение на вычитание, если старший, знаковый разряд множителя равен 1[11].

Свойства

Умножение коммутативно, то есть  — от перемены мест множителей произведение остаётся неизменным. Также ему присуще свойство ассоциативности, то есть  — если множителей много, перемножать их можно в любом порядке, произведение останется неизменным. Ещё одно свойство — дистрибутивность, то есть  — при умножении суммы слагаемых, операцию можно выразить как сумму произведений каждого отдельного слагаемого и множителя[1].

Произведение любого числа и нуля всегда равно нулю, произведение любого числа и единицы всегда равно этому числу[1].

Примечания

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 БРЭ, 2017.
  2. 2,0 2,1 MacDuffee C. C. Arithmetics: addition and multiplication (англ.). Britannica (14 марта 2021). Дата обращения: 19 февраля 2023.
  3. 3,0 3,1 3,2 Мальцевская И. Общее представление об умножении натуральных чисел. Zaochnik.com. Дата обращения: 19 февраля 2023.
  4. 4,0 4,1 Cajori, 2007, pp. 232—233.
  5. 5,0 5,1 Weisstein E. W. Times (англ.). Wolfram MathWorld. Дата обращения: 19 февраля 2023.
  6. ИХТУ, 2010.
  7. Урок 9. Арифметические операции в позиционных системах счисления. Российская электронная школа. Дата обращения: 19 февраля 2023.
  8. Выполнение операции умножения. Воронежский государственный университет. Studfiles (2012). Дата обращения: 19 февраля 2023.
  9. Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел. Foxford.ru. Дата обращения: 19 февраля 2023.
  10. Арифметика в системах счисления. Инфоурок. Дата обращения: 19 февраля 2023.
  11. Умножение целых чисел в ЭВМ. helpiks.ru. Дата обращения: 27 августа 2023.

Литература

WLW Checked Off icon.svg Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!